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abdullah uyu
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d26a00c0fc
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02b7b30d74
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@ -301,3 +301,5 @@ TSWLatexianTemp*
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# Uncomment the next line to have this generated file ignored.
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#*Notes.bib
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*~
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@ -0,0 +1,30 @@
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,->]
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||||
\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=12pt,inner sep=2pt]
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||||
\node[vertex] (I_1) at (-1,1) {$H$};
|
||||
\node[vertex] (I_2) at (1,1) {$rH$};
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||||
\node[vertex] (I_3) at (1,-1) {$r^2H$};
|
||||
\node[vertex] (I_4) at (-1,-1) {$r^3H$};
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||||
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||||
\node[vertex] (O_1) at (-2,2) {$1$};
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||||
\node[vertex] (O_2) at (2,2) {$r^3$};
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||||
\node[vertex] (O_3) at (2,-2) {$r^2$};
|
||||
\node[vertex] (O_4) at (-2,-2) {$r$};
|
||||
\draw (I_1) -- (I_2) node[midway, above] {$r$};
|
||||
\draw (I_2) -- (I_3) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (I_3) -- (I_4) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (I_4) -- (I_1) node[midway, left] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw (O_1) -- (O_4) node[midway, left] {$r$};
|
||||
\draw (O_4) -- (O_3) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (O_3) -- (O_2) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (O_2) -- (O_1) node[midway, above] {$r$};
|
||||
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||||
\draw[<->] (O_1) -- (I_1) node[midway, below left=-3pt] {$H$};
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||||
\draw[<->] (O_2) -- (I_2) node[midway, below right=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_3) -- (I_3) node[midway, above right=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_4) -- (I_4) node[midway, above left=-3pt] {$H$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{table de cayley pour $ D_4 $, $ \gen{r,H} $.}
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||||
\end{figure}
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@ -0,0 +1,36 @@
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\begin{figure}[H]
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||||
\centering
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\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,->]
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||||
\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=12pt,inner sep=2pt]
|
||||
\node[vertex] (I_1) at (0,2.1) {$1$};
|
||||
\node[vertex] (I_2) at (1.6,0.9) {$r$};
|
||||
\node[vertex] (I_3) at (1,-1) {$r^2$};
|
||||
\node[vertex] (I_4) at (-1,-1) {$r^3$};
|
||||
\node[vertex] (I_5) at (-1.6,0.9) {$r^4$};
|
||||
|
||||
\node[vertex] (O_1) at (0,3.3) {$U$};
|
||||
\node[vertex] (O_2) at (2.8,1.3) {$r^4U$};
|
||||
\node[vertex] (O_3) at (1.7,-2) {$r^3U$};
|
||||
\node[vertex] (O_4) at (-1.7,-2) {$r^2U$};
|
||||
\node[vertex] (O_5) at (-2.8,1.3) {$rU$};
|
||||
|
||||
\draw (I_1) -- (I_2) node[midway, above right] {$r$};
|
||||
\draw (I_2) -- (I_3) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (I_3) -- (I_4) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (I_4) -- (I_5) node[midway, below left] {$r$};
|
||||
\draw (I_5) -- (I_1) node[midway, above left] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw (O_1) -- (O_5) node[midway, above left] {$r$};
|
||||
\draw (O_5) -- (O_4) node[midway, left] {$r$};
|
||||
\draw (O_4) -- (O_3) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (O_3) -- (O_2) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (O_2) -- (O_1) node[midway, above right] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw[<->] (O_1) -- (I_1) node[midway, left] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_2) -- (I_2) node[midway, below right=-4pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_3) -- (I_3) node[midway, above right=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_4) -- (I_4) node[midway, above left=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_5) -- (I_5) node[midway, below left=-4pt] {$H$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{table de cayley pour $ D_4 $, $ \gen{r,H} $.}
|
||||
\end{figure}
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@ -0,0 +1,699 @@
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\documentclass[a4paper, openright, twoside, twocolumn]{memoir}
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\setlrmarginsandblock{1in}{1in}{*}
|
||||
\setulmarginsandblock{1in}{1.5in}{*}
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||||
\checkandfixthelayout
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%\usepackage{showframe}
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||||
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%\usepackage[nf]{coelacanth}
|
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%\usepackage[T1]{fontenc}
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||||
%% The font package uses mweights.sty which has som issues with the
|
||||
%% \normalfont command. The following two lines fixes this issue.
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%\let\oldnormalfont\normalfont{}
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||||
%\def\normalfont{\oldnormalfont\mdseries}
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||||
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||||
%\usepackage{tgpagella}
|
||||
%\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
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||||
\usepackage[sfdefault]{AlegreyaSans}
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||||
\renewcommand*\oldstylenums[1]{{\AlegreyaSansOsF #1}}
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||||
\usepackage{eulervm}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
|
||||
\usepackage[pdftex,pdfpagelabels,bookmarks,hyperindex,hyperfigures,hypertexnames=false]{hyperref}
|
||||
\usepackage[french]{babel}
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||||
\usepackage{lipsum}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amssymb}
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||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{bm}
|
||||
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
|
||||
\usepackage{textcomp}
|
||||
\usepackage{dirtytalk}
|
||||
\usepackage{url}
|
||||
\usepackage[super]{nth}
|
||||
\usepackage{marginnote}
|
||||
\usepackage{todonotes}
|
||||
\usepackage{graphics}
|
||||
|
||||
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
|
||||
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
|
||||
\newcommand*\conj[1]{\overline{#1}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Exists}{\exists}
|
||||
\DeclareMathOperator{\Forall}{\forall}
|
||||
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
|
||||
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
|
||||
\DeclareMathOperator{\fix}{Fix}
|
||||
\DeclareMathOperator{\supp}{Supp}
|
||||
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
|
||||
\newcommand{\prsc}[2]{\langle#1,#2\rangle}
|
||||
\newcommand{\prscc}[0]{\langle\cdot{,}\cdot\rangle}
|
||||
\newcommand{\gen}[1]{\langle#1\rangle}
|
||||
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||||
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||||
\newtheorem{lemme}{lemme}[section]
|
||||
\newtheorem{thm}{théorème}[section]
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||||
\newtheorem{pro}{proposition}[section]
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||||
\newtheorem{cor}{corolaire}[section]
|
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||||
\theoremstyle{remark}
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||||
\newtheorem{rmq}{remarque}[section]
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||||
\newtheorem*{note}{note}
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\newtheorem*{sol}{solution}
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||||
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||||
\theoremstyle{definition}
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||||
\newtheorem*{defn*}{définition}
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||||
\newtheorem{defn}{définition}[section]
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\newtheorem{hwk}{homework}[section]
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||||
\newtheorem{exc}{exercice}[section]
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||||
\newtheorem{exm}{exemple}[section]
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||||
|
||||
\addto\captionsfrench{
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||||
\renewcommand{\contentsname}{table des matières}
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||||
\renewcommand{\chaptername}{chapitre}
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||||
\renewcommand{\proofname}{démonstration}
|
||||
\renewcommand{\figurename}{figure}
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||||
}
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||||
\nouppercaseheads
|
||||
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||||
\title{
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||||
\textsc{notes d'algèbre abstraite}\\
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||||
\vskip 0.1em
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||||
\large \itshape enseigné par\\
|
||||
\upshape meral tosun\\
|
||||
\vskip 2em
|
||||
département de mathématiques\\
|
||||
l'université galatasaray
|
||||
}
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||||
\date{le 23 février 2022}
|
||||
\author{
|
||||
\itshape rédigé par\\
|
||||
\upshape abdullah uyu\\
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||||
\texttt{oneofvalts@sdf.org}
|
||||
}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\tableofcontents
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||||
\chapter{introduction}
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||||
\section{comprendre les groupes intuitivement}
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||||
\marginnote{lecture 1, february \nth{23} 2022}
|
||||
un petit peu d'histoire. une motivation pour géométrie algébrique. ce
|
||||
lecture est le dernière avant les class plus avancés, comme géométrie
|
||||
algébrique. les mathématiciens italians, les équations cubiques.
|
||||
|
||||
continuing in english. 16. \& 17. century italian mathematicians. we
|
||||
review relations, equivalence relations, equivalence classes. \textit{les
|
||||
classes d'équivalence forment une partition de $ E $.}
|
||||
\begin{hwk}
|
||||
montrer que, pour chaque partition de $ E $ il existe une relation
|
||||
d'équivalence dont les classes sont les élément de cette partition de $
|
||||
E $.
|
||||
\label{part_rel_bij}
|
||||
\end{hwk}
|
||||
m. macauley has a nice website. \textbf{pattern} is an important keyword.
|
||||
we start the articulation with \textit{axe de symmétrie}. we consider
|
||||
regular polygons like triangles, rectangles, hexagons etc. one can
|
||||
classify those regarding the parity of the number of the edges. pay
|
||||
attention to the definition of $ d_{A} $. rotations are simple though.
|
||||
or, are they? anyways, now think about the compositions of those
|
||||
operations. this is like adding all numbers. behold that in this case, we
|
||||
have finite amount of \textit{numbers}. we mention \textit{ferméture de
|
||||
l'opération} et la \textit{table de cayley}.
|
||||
\begin{hwk}
|
||||
read about cayley.
|
||||
\label{read}
|
||||
\end{hwk}
|
||||
there are three conditions for being a cayley table.
|
||||
we call this above structure a group and specifically $ D_3 $. we now
|
||||
mention \textit{générateur}.
|
||||
\begin{hwk}
|
||||
write down the cayley table and the graph for square and pentagon
|
||||
groups. give two sets of generators for each of them.
|
||||
\label{squ_et_pen}
|
||||
\end{hwk}
|
||||
\begin{hwk}
|
||||
montrer que la table de multiplication pour l'ensemble
|
||||
$$
|
||||
\mathbb{Z} _n = \{ [0],[1],\dots,[n - 1] \}
|
||||
$$
|
||||
muni de l'opération
|
||||
$$
|
||||
[a] + [b] = [a + b]
|
||||
$$
|
||||
vérifie les propriétés d'un groupe.
|
||||
\label{Z_n}
|
||||
\end{hwk}
|
||||
\marginnote{after-class, february \nth{24} 2022}
|
||||
\begin{sol}[\ref{part_rel_bij}]
|
||||
soient $ E $ un ensemble, $ P $ un partition de $ E $. posons la
|
||||
relation $ R $ comme suit:
|
||||
$$ R = \{ ( a,b ) : a,b \in P'; P' \in P \} $$
|
||||
par construction, $ R $ est réflexive, symétrique et transitive. alors
|
||||
c'est une relation d'équivalence.
|
||||
|
||||
soient $ P' \in P $ et $ a \in P' $. par construction, $ [a] = P' $. $
|
||||
\Diamond $
|
||||
\end{sol}
|
||||
\begin{sol}[\ref{read}]
|
||||
a lawyer... his collected papers took 967 pages?! he apparently
|
||||
appreciated novel-reading and architecture.
|
||||
\end{sol}
|
||||
\begin{sol}[\ref{Z_n}]
|
||||
notons d'abord la table de multiplication pour $ \mathbb{Z} _n $.
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\resizebox{\linewidth}{!}{%
|
||||
\begin{tabular}{c | c c c c c c}
|
||||
& $ 0 $ & $ 1 $ & $ 2 $ & $ \dots $ & $ n-2 $ & $ n-1 $\\
|
||||
\cline{1-7}
|
||||
$ 0 $ & $ \fbox{0} $ & $ 1 $ & $ 2 $ & $ \cdots $ & $ n-2 $ & $ n-1 $\\
|
||||
$ 1 $ & $ 1 $ & $ 2 $ & $ 3 $ & $ \cdots $ & $ n-1 $ & $ \fbox{0} $\\
|
||||
$ 2 $ & $ 2 $ & $ 3 $ & $ 4 $ & $ \cdots $ & $ \fbox{0} $ & $ 1 $\\
|
||||
$ \vdots $ & $ \vdots $ & $ \vdots $ & $ \vdots $ & $ \ddots $ & $
|
||||
\vdots$ & $ \vdots $\\
|
||||
$ n - 2 $ & $ n - 2 $ & $ n - 1 $ & $ \fbox{0} $ & $ \cdots $ & $ n - 4 $
|
||||
& $ n - 3 $\\
|
||||
$ n - 1 $ & $ n - 1 $ & $ \fbox{0} $ & $ 1 $ & $ \cdots $ & $ n - 3 $
|
||||
& $ n - 2$\\
|
||||
\end{tabular}%
|
||||
}
|
||||
\caption{table de cayley pour $ \mathbb{Z} _n $.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
par la progession arithmétique dans les lignes et colonnes, on voit
|
||||
qu'elles contiennent l'ensemble
|
||||
$$ \{ 0, 1, 2, \dots, n - 1 \} $$
|
||||
en différents ordres. (\textit{composition interne})
|
||||
|
||||
elles toutes contient donc l'élément `0', en différentes positions
|
||||
verticales. (\textit{l'existence d'élément neutre, et d'inverse})
|
||||
pour \textit{associativité}, on doit agir algébriquement, car ce ne pas
|
||||
impliqué par la table de cayley.
|
||||
|
||||
soit $ [a],[b],[c] \in \mathbb{Z} _n $. on a:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
( [a] + [b] ) + [c] &= [a + b] + [c] &=\\
|
||||
&= [a + b + c]\\
|
||||
&= [a] + [b + c]\\
|
||||
&= [a] + ( [b] + [c] )
|
||||
\end{align*}
|
||||
en vérifiant ces quatre condition, on a montré que $ ( \mathbb{Z} _n, +
|
||||
) $ est un groupe. $ \Diamond $
|
||||
\end{sol}
|
||||
\begin{sol}[\ref{squ_et_pen}]
|
||||
commençons avec $ D_4 $.
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\resizebox{\linewidth}{!}{%
|
||||
\begin{tabular}{c | c c c c c c c c}
|
||||
& $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ H $ & $ V $ & $ D_R $ & $ D_L $ \\
|
||||
\cline{1-9}
|
||||
$ 1 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ H $ & $ V $ & $ D_R $ & $ D_L $ \\
|
||||
$ r $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ 1 $ & $ D_R $ & $ D_L $ & $ V $ & $ H $ \\
|
||||
$ r^2 $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ V $ & $ H $ & $ D_L $ & $ D_R $ \\
|
||||
$ r^3 $ & $ r^3 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ D_L $ & $ D_R $ & $ H $ & $ V $ \\
|
||||
$ H $ & $ H $ & $ D_L $ & $ V $ & $ D_R $ & $ 1 $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ r $ \\
|
||||
$ V $ & $ V $ & $ D_R $ & $ H $ & $ D_L $ & $ r^2 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ r^3 $ \\
|
||||
$ D_R $ & $ D_R $ & $ H $ & $ D_L $ & $ V $ & $ r $ & $ r^3 $ & $ 1 $ & $ r^2 $ \\
|
||||
$ D_L $ & $ D_L $ & $ V $ & $ D_R $ & $ H $ & $ r^3 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ 1 $ \\
|
||||
\end{tabular}%
|
||||
}
|
||||
\caption{table de cayley pour $ D_4 $.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
notons que $ r\circ r = r^2 $, $ r\circ r^2 = r^3 $, $ r\circ r^3 = 1 $, $
|
||||
r\circ H = D_R $, $ r\circ D_R = V $, $ r\circ V = D_L $. donc, $ \gen{r,H} $
|
||||
est une générateur pour $ D_4 $. mais similairement, $ \gen{r,V} $ l'est
|
||||
aussi. traçons la graph de cayley pour le générateur $ \gen{r,H} $.
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,->]
|
||||
\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=12pt,inner sep=2pt]
|
||||
\node[vertex] (I_1) at (-1,1) {$H$};
|
||||
\node[vertex] (I_2) at (1,1) {$rH$};
|
||||
\node[vertex] (I_3) at (1,-1) {$r^2H$};
|
||||
\node[vertex] (I_4) at (-1,-1) {$r^3H$};
|
||||
|
||||
\node[vertex] (O_1) at (-2,2) {$1$};
|
||||
\node[vertex] (O_2) at (2,2) {$r^3$};
|
||||
\node[vertex] (O_3) at (2,-2) {$r^2$};
|
||||
\node[vertex] (O_4) at (-2,-2) {$r$};
|
||||
\draw (I_1) -- (I_2) node[midway, above] {$r$};
|
||||
\draw (I_2) -- (I_3) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (I_3) -- (I_4) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (I_4) -- (I_1) node[midway, left] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw (O_1) -- (O_4) node[midway, left] {$r$};
|
||||
\draw (O_4) -- (O_3) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (O_3) -- (O_2) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (O_2) -- (O_1) node[midway, above] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw[<->] (O_1) -- (I_1) node[midway, below left=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_2) -- (I_2) node[midway, below right=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_3) -- (I_3) node[midway, above right=-3pt] {$H$};
|
||||
\draw[<->] (O_4) -- (I_4) node[midway, above left=-3pt] {$H$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{table de cayley pour $ D_4 $, $ \gen{r,H} $.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
on considère maintenant $ D_5 $.
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\resizebox{\linewidth}{!}{%
|
||||
\begin{tabular}{c | c c c c c c c c c c}
|
||||
& $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ r^4 $ & $ U $ & $ U_L $ & $ U_R $ & $ D_L $ & $ D_R $ \\
|
||||
\cline{1-11}
|
||||
$ 1 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ r^4 $ & $ U $ & $ U_L $ & $ U_R $ & $ D_L $ & $ D_R $\\
|
||||
$ r $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ r^4 $ & $ 1 $ & $ D_R $ & $ U_R $ & $ D_L $ & $ U $ & $ U_L $\\
|
||||
$ r^2 $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ r^4 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ U_L $ & $ D_L $ & $ U $ & $ D_R $ & $ U_R $\\
|
||||
$ r^3 $ & $ r^3 $ & $ r^4 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ U_R $ & $ U $ & $ D_R $ & $ U_L $ & $ D_L $\\
|
||||
$ r^4 $ & $ r^4 $ & $ 1 $ & $ r $ & $ r^2 $ & $ r^3 $ & $ D_L $ & $ D_R $ & $ U_L $ & $ U_R $ & $ U $\\
|
||||
$ U $ & $ U $ & $ D_L $ & $ U_R $ & $ U_L $ & $ D_R $ & $ 1 $ & $ r^3 $ & $ r^2 $ & $ r $ & $ r^4 $\\
|
||||
$ U_L $ & $ U_L $ & $ D_R $ & $ U $ & $ D_L $ & $ U_R $ & $ r^2 $ & $ 1 $ & $ r^4 $ & $ r^3 $ & $ r $\\
|
||||
$ U_R $ & $ U_R $ & $ U_L $ & $ D_R $ & $ U $ & $ D_L $ & $ r^3 $ & $ r $ & $ 1 $ & $ r^4 $ & $ r^2 $\\
|
||||
$ D_L $ & $ D_L $ & $ U_R $ & $ U_L $ & $ D_R $ & $ U $ & $ r^4 $ & $ r^2 $ & $ r $ & $ 1 $ & $ r^3 $\\
|
||||
$ D_R $ & $ D_R $ & $ U $ & $ D_L $ & $ U_R $ & $ U_L $ & $ r $ & $ r^4 $ & $ r^3 $ & $ r^2 $ & $ 1 $\\
|
||||
\end{tabular}%
|
||||
}
|
||||
\caption{table de cayley pour $ D_5 $.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
notons que $ r\circ r = r^2 $, $ r\circ r^2 = r^3 $, $ r\circ r^3 = r^4
|
||||
$, $ r\circ r^4 = 1 $, $ r\circ U = D_R $, $ r\circ D_R = U_L $, $
|
||||
r\circ U_L = U_R $, $ r\circ U_R = D_L $. donc, $ \gen{r,U} $ est une
|
||||
générateur. mais similairement, $ \gen{r,U_L} $ l'est aussi. traçons la
|
||||
graph de cayley pour le générateur $ \gen{r,U} $.
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,->]
|
||||
\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=12pt,inner sep=2pt]
|
||||
\node[vertex] (I_1) at (0,2.1) {$1$};
|
||||
\node[vertex] (I_2) at (1.6,0.9) {$r$};
|
||||
\node[vertex] (I_3) at (1,-1) {$r^2$};
|
||||
\node[vertex] (I_4) at (-1,-1) {$r^3$};
|
||||
\node[vertex] (I_5) at (-1.6,0.9) {$r^4$};
|
||||
|
||||
\node[vertex] (O_1) at (0,3.3) {$U$};
|
||||
\node[vertex] (O_2) at (2.8,1.3) {$r^4U$};
|
||||
\node[vertex] (O_3) at (1.7,-2) {$r^3U$};
|
||||
\node[vertex] (O_4) at (-1.7,-2) {$r^2U$};
|
||||
\node[vertex] (O_5) at (-2.8,1.3) {$rU$};
|
||||
|
||||
\draw (I_1) -- (I_2) node[midway, above right] {$r$};
|
||||
\draw (I_2) -- (I_3) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (I_3) -- (I_4) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (I_4) -- (I_5) node[midway, below left] {$r$};
|
||||
\draw (I_5) -- (I_1) node[midway, above left] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw (O_1) -- (O_5) node[midway, above left] {$r$};
|
||||
\draw (O_5) -- (O_4) node[midway, left] {$r$};
|
||||
\draw (O_4) -- (O_3) node[midway, below] {$r$};
|
||||
\draw (O_3) -- (O_2) node[midway, right] {$r$};
|
||||
\draw (O_2) -- (O_1) node[midway, above right] {$r$};
|
||||
|
||||
\draw[<->] (O_1) -- (I_1) node[midway, left] {$U$};
|
||||
\draw[<->] (O_2) -- (I_2) node[midway, below right=-4pt] {$U$};
|
||||
\draw[<->] (O_3) -- (I_3) node[midway, above right=-3pt] {$U$};
|
||||
\draw[<->] (O_4) -- (I_4) node[midway, above left=-3pt] {$U$};
|
||||
\draw[<->] (O_5) -- (I_5) node[midway, below left=-4pt] {$U$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{table de cayley pour $ D_5 $, $ \gen{r,U} $.}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{sol}
|
||||
\section{passage à un définition plus formelle}
|
||||
\marginnote{lecture 2, march \nth{2} 2022}
|
||||
\begin{note}
|
||||
some parts are missing here. find and type them.
|
||||
\end{note}
|
||||
\begin{defn}[élément neutre]
|
||||
$ ( E,\star ) $ admet un élément neutre si $ \exists e \in E , \forall
|
||||
a \in E, a\star e = e\star a = a $.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{defn}[inversibilité]
|
||||
on dit que $ a \in E $ est inversible si $ \exists b \in E $ tel que $
|
||||
a\star b = e $. on le note par $ a^{-1} = b $. (notons que $ b\star a =
|
||||
e$ n'est pas toujours le cas.)
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ ( \mathbb{Z} , + ) $, $ a \in \mathbb{Z} $, l'inverse additif
|
||||
$ a^{-1} = - a \in \mathbb{Z} $
|
||||
\item $ ( \mathbb{Q} ^*,\cdot ) $, $ a \in \mathbb{Q} ^* $,
|
||||
l'inverse multiplicatif $ a^{-1} = \frac{1}{a} \in \mathbb{Q} ^* $
|
||||
\item $ ( GL_n ( \mathbb{R} ) , \cdot ) $, pour $ n = 2 $ par example
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a & b\\
|
||||
c & d
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
^{-1} = \frac{1}{ad - bc}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
d & -b\\
|
||||
-c & a
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{defn}[]
|
||||
soit $ ( E, \star ) $ un mono\"{i}de. si tous les éléments dans $ E $
|
||||
sont inversibles, on dit que $ ( E,\star ) $ est un groupe.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\textit{the older definition of a group}. un groupe est une ensemble des rototations,réflexions d'un $ n $-gone
|
||||
régulier.
|
||||
\begin{exm}
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ ( \mathbb{N} , + ) $ est un non-example. peut-être le plus
|
||||
\textit{simple}.
|
||||
\item $ ( \mathbb{Z} , \star ) $ est un non-example.
|
||||
\item $ ( \mathbb{Z} , + ) $ et $ ( \mathbb{Q} ^\star,\cdot ) $
|
||||
\textbf{est} un groupe.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{hwk}
|
||||
read about abel.
|
||||
\end{hwk}
|
||||
\begin{defn}[abélien]
|
||||
un groupe $ ( E, \star ) $ est dit abélien si $ \star $ est commutatif.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ ( \mathbb{Z} , + ) $, $ ( \mathbb{Q} ^\star, \cdot ) $ sont
|
||||
des groupes abéliens.
|
||||
\item $ ( GL_n ( \mathbb{R} ) , \cdot ) $ n'est pas un groupe abélien.
|
||||
\item $ ( M_n ( \mathbb{R} ) , + ) $ est un groupe abélien.
|
||||
\item $ ( GL_n ( \mathbb{R} ), + ) $ n'est pas un groupe.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
notons que $ ( M_n ( \mathbb{R} ) )^\star = GL_n ( \mathbb{R} ) $.
|
||||
$ \star $ est pour donc exclure les éléments qui n'a pas d'inverse.
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
$ \mathbb{Z} _n $ (ou on note quelque fois $ \mathbb{Z} /n \mathbb{Z}
|
||||
$). notons explicitement:
|
||||
\begin{gather}
|
||||
\mathbb{Z} _n = \{ \conj{0},\conj{1},\dots,\conj{n - 1} \}\\
|
||||
a \sim b \iff a \equiv b \mod n
|
||||
\end{gather}
|
||||
ceci est un ensemble important pour ce cours et en fait est un groupe.
|
||||
\end{exm}
|
||||
\marginnote{after-class, march \nth{3} 2022}
|
||||
\begin{sol}
|
||||
about the classification of groups of order 4,5,\dots, i have asked for
|
||||
help in \texttt{chat.se} and got help from ted. \textit{the strategy is
|
||||
to think about the possible orders for elements of the group and
|
||||
perform an organized case analysis.}
|
||||
|
||||
in that journey, find that there is no group that has an element of
|
||||
order 3, and that there is only one group that has an element of order
|
||||
2 and 4, each. in fact, the one that has an element of order 4 is $
|
||||
\mathbb{Z} _4 $.
|
||||
\end{sol}
|
||||
\begin{exc}[suggested by \textit{lukas heger} from \texttt{chat.se}]
|
||||
if in a group $ G $, we have for all $ {a \in G}: a^2 = e $, then $
|
||||
\Forall a,b \in G: ab = ba
|
||||
$, i.e. the cayley table is symmetric.
|
||||
\end{exc}
|
||||
\begin{sol}
|
||||
soit $ a,b \in G $. notons d'abord que:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item par la loi de composition interne, $ ba \in G $.
|
||||
\item par la supposition, $ a^2 = b^2 = (ba)^2 = e $.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
alors, on a:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
ab & = abbaba \quad \text{( $(ba)^2 = e$ )}\\
|
||||
& = aaba \quad \text{( $b^2 = e$ )}\\
|
||||
& = ba \quad \text{( $a^2 = e$ )}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$ \Diamond $
|
||||
\end{sol}
|
||||
\marginnote{lecture 3, march \nth{9} 2022}
|
||||
\begin{defn}[ordre d'un élément]
|
||||
$ G $ un groupe fini, $ g \in G $. on note $ \ord{g} = n $ si $ g^n =
|
||||
e_G $ et $ n $ est le plus petit.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
pour le groupe diédrale $ D_n $, on note la rotation $ r $ et le
|
||||
symétrie $ d $. on a:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ \ord{r} = n $
|
||||
\item $ \ord{d} = 2 $
|
||||
\item $ drd^{-1} = r^{-1} $
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
classifions $ D_n $:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item pour $ n = 1 $, $ D_1 = \{ e,d \} $
|
||||
\item pour $ n = 2 $, $ D_2 = \{ e,r,d,rd \} $
|
||||
\item $ ( D_n,\circ ) $ est non-abélien pour $ n \geq 3 $.
|
||||
\item $ ( D_1,\circ ) $ est abélien, $ \abs{D_1} = 2 $. $ D_1\cong
|
||||
\mathbb{Z} _2 $
|
||||
\item $ ( D_2,\circ ) $ est abélien d'ordre 4.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{pro}
|
||||
soit $ n \geq 1 $. les propriétés suivantes sont équivalentes:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ ( G,\cdot ) $ est isomorphe à $ D_n $.
|
||||
\item $ \abs{G} = 2n $ et $ \Exists g_1,g_2 \in G $ tel que $
|
||||
\abs{g_1} = n, \abs{g_2} = 2 $,
|
||||
$$
|
||||
g_2\times g_1\times g_2^{-1} = g_1^{-1}
|
||||
$$
|
||||
et $ g_2 \not\in \gen{g_1} $ si $ n = 2 $.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{pro}
|
||||
\begin{exm}[groupes des matrices]
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ M_n ( \mathbb{R} ) $, l'ensemble des matrices $ n\times n $ à
|
||||
coefficients dans $ \mathbb{R} $.
|
||||
\item $ GL_n ( \mathbb{R} ) $, groupe linéaire générale, l'ensemble
|
||||
des matrices $ n\times n $ dont $ \det{A} \neq 0 $.
|
||||
\item $ SL_n ( \mathbb{R} ) = \{ A \in M_n ( \mathbb{R} ) : \det{A}
|
||||
= 1 \} $ et on note similairement $ SL_n ( \mathbb{Z} ) $. le
|
||||
groupe linéaire spécial.
|
||||
\item $ O ( n ) = \{ A \in M_n ( \mathbb{R} ) :AA^t = \id_n \} $,
|
||||
groupe orthogonal.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
soit $ \mathbb{H} $ l'ensemble des matrices $ 2\times 2 $ à
|
||||
coefficients dans $ \mathbb{C} $ qui sont de la forme
|
||||
$$
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
u & v\\
|
||||
-\conj{v} & \conj{u}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
$ u,v \in \mathbb{C} $.
|
||||
$$
|
||||
\mathbb{H} = \{ A \in M_2 ( \mathbb{C} ) : A
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
u & v\\
|
||||
-\conj{v} & \conj{u}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\}
|
||||
$$
|
||||
les éléments de $ \mathbb{H} $ sont appelés les quaternions.
|
||||
$$
|
||||
i =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
i & 0\\
|
||||
0 & -i
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
,j=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 1\\
|
||||
-1 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
,ij=k=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & i\\
|
||||
i & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
notons que $ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -\id = - 1 $. donc, en reécrit:
|
||||
$$
|
||||
\mathbb{H} = \{ \id, - \id, i,j,k, - i, - j, - k \}
|
||||
$$
|
||||
et de même, $ \ord{\mathbb{H}} = 8 $.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ \ord{\id} = 1 $
|
||||
\item $ \ord{i} = \ord{j} = \ord{k} = 4 $
|
||||
\item $ \ord{- \id} = 2 $
|
||||
\item est-ce que $ ( \mathbb{H},\cdot ) $ un groupe?
|
||||
\item le groupe $ ( \mathbb{H},\cdot ) $ n'est pas abélien car $
|
||||
ij = ji $
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{note}
|
||||
remplir la table de cayley de $ \mathbb{H} $.
|
||||
\end{note}
|
||||
\section{groupe des permutations}
|
||||
\begin{defn}[permutation]
|
||||
soit $ E $ un ensemble non-vide. $ S_E $: l'ensemble des bijections de
|
||||
$ E $ dans $ E $ (appelé \textit{permutations de $ E $.})
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{thm}[groupe des permutations]
|
||||
$ ( S_E,\circ ) $ est un groupe.
|
||||
\end{thm}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
notons d'abord que:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ \circ $ est un opération binaire.
|
||||
\item $ f\circ ( g\circ h ) = ( f\circ g )\circ h $
|
||||
\item $ \id = e =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 2 & \cdots & n\\
|
||||
1 & 2 & \cdots & n
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$
|
||||
\item $ f \in S_E \implies f^{-1} \in S_E $.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ E = \emptyset \implies S_E = \{ \id \} $ groupe trivial.
|
||||
\item $ E = \{ a \} \implies S_E = \{ \id \} $ groupe trivial.
|
||||
\item $ E = \{ a,b \} \implies S_E = \{
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
a & b\\
|
||||
a & b
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
,
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
a & b\\
|
||||
b & a
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\} $. $ \ord{S_E} = 2 $. groupe abélien d'ordre 2, qui est isomorphe
|
||||
à $ ( \mathbb{Z} _2,+ ) $.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
en générale, on note $ ( S_n,\circ ) $ le groupe de permutations où $
|
||||
E = \{ 1,\dots,n \} $. bien sûr, $ \abs{S_n} = n! $.
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{hwk}
|
||||
$ S_n $ n'est pas abélien pour $ n \geq 3 $. montrer que $ S_3 $ n'est
|
||||
pas abélien par trouvant deux élément $ a,b \in S_3 $ tel que $ ab \neq
|
||||
ba $.
|
||||
\end{hwk}
|
||||
\begin{defn}[point fix, Fix, Supp]
|
||||
un \textit{point fix} d'une permutation $ \sigma $ est une point $
|
||||
x \in E $ tel que $ \sigma ( x ) = x $. notons $ \fix {( \sigma )} $
|
||||
l'ensemble des points fixes de $ \sigma $. définissons similairement
|
||||
\textit{support} de $ \sigma $ tel que $ E\setminus \fix{( \sigma )} $
|
||||
et notons-le $ \supp{( \sigma )} $.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{note}
|
||||
on note $ \sigma $ avec ces points fixs.
|
||||
\end{note}
|
||||
\begin{note}
|
||||
i missed the definition of a \textit{cycle}. insert it here.
|
||||
\end{note}
|
||||
\begin{defn}[transposition]
|
||||
un 2-cycle est dit une \textit{transposition}.
|
||||
$$
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
|
||||
3 & 10 & 2 & 4 & 7 & 9 & 8 & 5 & 6 & 1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
$ = ( 1\,3\,2\,10 ) ( 5\,7\,8 ) ( 6\,9 ) $ produit des cycles.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{note}
|
||||
change \texttt{bmatrix}'s to \texttt{pmatrix}.
|
||||
\end{note}
|
||||
\begin{exm}
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $ \id $\dots
|
||||
\item transpositions\dots
|
||||
\item 3-cycles\dots
|
||||
\item 4-cycles\dots
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exm}
|
||||
\begin{note}
|
||||
fill the example above.
|
||||
\end{note}
|
||||
\begin{pro}
|
||||
\leavevmode
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item un cycle de longueur $ l $ peut s'écrire comme le produit de ${
|
||||
l - 1 }$ transpositions.
|
||||
\item toute permutations de $ E $ sont des produits des
|
||||
transpositions.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{pro}
|
||||
\begin{defn}[inversion]
|
||||
une \textit{inversion} de $ \sigma $ est une paire $ ( i,j ) $
|
||||
vérifiant $ i<j $ et $ \sigma ( i ) > \sigma ( j ) $.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{defn}[signature]
|
||||
$ \sign{( \sigma )} = (-1)^{\mathcal{S}} $ où $ \mathcal{S} $ est le
|
||||
nombre d'inversion de $ \sigma $.
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{rmq}
|
||||
la signature d'une transposition est $ - 1 $.
|
||||
\end{rmq}
|
||||
\begin{defn}[parité]
|
||||
une permutation est
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item paire si $ \sign{( \sigma )} = 1 $.
|
||||
\item impaire si $ \sign{( \sigma )} = - 1 $.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defn}
|
||||
\begin{pro}
|
||||
l'ensemble des permutation paires, noté $ \mathcal{A}_n $ est un
|
||||
groupe.
|
||||
\end{pro}
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\begin{hwk}
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until friday,
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\begin{itemize}
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\item prove the proposition above.
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\item write down two generators for $ S_3 $ and $ S_4 $. generalize.
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\end{itemize}
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\end{hwk}
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\section{morphisme des groupes}
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soit $ ( G_1,\star ) $ et $ ( G_2,\square ) $ deux groupes. on appele
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\textit{morphisme} de groupes de $ G_1 $ dans $ G_2 $ une application $
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\varphi:G_1\to G_2 $ telle que
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$$
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\Forall g_1,g_1' \in G_1 \varphi ( g_1\star g_1' ) = \varphi ( g_1 )
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\square \varphi ( g_1' ).
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$$
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\begin{itemize}
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\item \textit{morphisme des groupes} ou \textit{homomorphisme}.
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\item si $ G_1 = G_2 $, alors, on appele $ \varphi $ un
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\textit{endomorphisme}.
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\item un homomorphisme bijectif est dit \textit{isomorphisme}.
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\item si $ \varphi:G_1\to G_2 $ est un isomorphisme, alors c'est un
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automorphisme.
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\end{itemize}
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\begin{pro}
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$ \varphi:G_1\to G_2 $ un homomorphisme. alors, $ \varphi ( e_1 )
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= e_2 $.
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\end{pro}
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\begin{pro}
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homomorphisme preserves inverses.
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\end{pro}
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\begin{pro}
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homomorphisme preserves orders.
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\end{pro}
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\begin{hwk}
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prove the propositions above.
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\end{hwk}
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\begin{exm}
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find homomorphisms for the following two mappings.
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\begin{itemize}
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\item $ \varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $, $ a\mapsto a+1 $.
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\item $ \varphi: M_2 ( \mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $
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\end{itemize}
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\end{exm}
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\end{document}
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