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# Analyse 1

## Table of Contents

- Contenu de la Matiére
  - Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ
  - Chapitre 2 : Les suites numériques réelles
  - Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle
  - Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique
  - Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques
- Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :
  - La loi de composition interne dans E :
    - Example : Addition
    - Example : soustraction
  - La loi de composition externe dans E :
  - Groupes :
    - Il contiens un élement neutre
    - Il contiens un élément symétrique
    - @ est cummutative :
  - Anneaux :
    - (E ; @) est un groupe cummutatif
    - ! est une loi associative :
    - Distribution de ! par rapport à @ :
    - L’existance d’un élèment neutre de ! :
    - ! est cummutative :
  - Corps :
    - La symétrie :
  - Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?
    - Est-ce un Anneau ?
    - Est-ce un corps ?
- 2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :
  - L’ordre dans ℝ
    - Exemples :
  - Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
    - Majorant:
    - Minorant:
    - Borne supérieure:
    - Borne inférieure:
    - Maximum :
    - Minimum :
    - Remarques :
- 3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :
  - - Définition :
    - Définition N°2 :
  - Opérations sur les suites :
    - La somme :
    - Le produit :
    - Inverse d’une suite :
    - Produit d’une suite par un scalaire :
  - Suite bornée :
  - Suite majorée :
  - Suite minorée :
  - Suites monotones :
    - Les suites croissantes :
    - Les suites décroissantes :
- Série TD N°1 : Oct 6
  - Exo 1 :
    - Ensemble A :
    - Ensemble B :
    - Ensemble C :
    - Ensemble D :
    - Ensemble E :
  - Exo 2 :
    - Ensemble A :
    - Ensemble B :
    - Ensemble C :
    - Ensemble D :
    - Ensemble E :
  - Exo 3 :
    - Question 1 :
    - Question 2 :
- 4th cours (Suite) : Oct 10
  - Les suites convergentes
    - Remarque :
  - Theoreme d’encadrement
  - Suites arithmetiques
    - Forme general
    - Somme des n premiers termes
  - Suites géométriques
    - Forme general
    - Somme des n premiers termes
- 5th cours (suite) : Oct 12
  - Suites adjacentes:
  - Suites extraites (sous-suites):
    - Remarques:
  - Suites de Cauchy:
    - Remarque :
  - Théorème de Bolzano Weirstrass:
- Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14
  - Fonction réelle à variable réelle :
    - L’ensemble de départ :
    - Les Limites :
    - La continuité :
    - Prolongement par continuité :
    - Théorème des valeurs intermédiaires :
    - Fonction croissante :
    - Injection = Strictement monotonne :
    - Surjection = Continuité :
    - Bijection :
    - Théorème de bijection :

## Contenu de la Matiére

### Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

- Structure algébrique de ℝ
- L’ordre dans ℝ
- Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure

### Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

- Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
- Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
- Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes

### Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

- Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
- La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
- La continuité informe les fonctions Lepchitziennes

### Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

- Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor

### Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

- Comparaison asymptotique
- Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
- Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L
- Généralisations des D.L
- Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies

## Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

### La loi de composition interne dans E :

@ : E x E —> E
(x,y) —> x @ y

@ est une lois de composition interne seulement si :

∀ x,y ε E

#### Example : Addition

Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x + y ? En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne n’importe quel chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ

∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ

Donc : + est L.C.I dans ℕ

#### Example : soustraction

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x - y ?

∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est PAS dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ

### La loi de composition externe dans E :

@ est L.C.E dans E, K est un corps

K x E —> E

(a,x) —> a @ x

∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E

### Groupes :

Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

(E, @) est un groupe Si :

#### Il contiens un élement neutre

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

x @ e = e @ x = x

On appelle e élement neutre

Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition

#### Il contiens un élément symétrique

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

On appelle x’ élèment symétrique

Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:

x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’

Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs

#### @ est cummutative :

∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents

### Anneaux :

Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

#### (E ; @) est un groupe cummutatif

#### ! est une loi associative :

∀ x , y , z ∈ E

(x ! y) ! z = x ! (y ! z)

#### Distribution de ! par rapport à @ :

∀ x , y , z ∈ E

(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )

#### L’existance d’un élèment neutre de ! :

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

#### ! est cummutative :

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

### Corps :

(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

#### La symétrie :

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !
(sauf élément neutre première lois )

### Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

#### Est-ce un Anneau ?

- (ℝ, +) est un groupe commutatif
- x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
- On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
- Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a
- La multiplication est commutative : a x b = b x a

Oui c’est un anneau

#### Est-ce un corps ?

- Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1

## 2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

### L’ordre dans ℝ

(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :

1. R est antisymétrique :

   ∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)

2. R est reflexive :

   ∀ x ∈ ℝ ; x R x

3. R est transitive :
   ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z

#### Exemples :

- Exemple numéro 1:

  (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?

  Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x is obviously false

- Exemple numéro 2:

  (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?

  1. (Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true
  2. (Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true
  3. (Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true

### Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

#### Majorant:

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

#### Minorant:

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

#### Borne supérieure:

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

#### Borne inférieure:

La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf (E) = Borne inférieure

#### Maximum :

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

#### Minimum :

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

#### Remarques :

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

1. A ∪ B est borné
2. A ∩ B est borné
3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
4. Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
6. Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B

## 3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

#### Définition :

Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:

ℕ -—> ℝ

n -—> U(n) = Un

1. (Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite
2. Un : terme général

- Exemple :

  U : ℕ* -—> ℝ

  n -—> 1/n

  (Un) est une suite définit par Un = 1/n

#### Définition N°2 :

On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

- Exemple :

  U(n+1) = Un /2

  U(1)= 1

### Opérations sur les suites :

#### La somme :

Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

#### Le produit :

Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

#### Inverse d’une suite :

Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

#### Produit d’une suite par un scalaire :

Soit (Un) une suite de T.G Un

∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn

### Suite bornée :

Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

### Suite majorée :

Soit (Un) une suite

U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M

### Suite minorée :

Soit (Un) une suite

U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M

### Suites monotones :

#### Les suites croissantes :

Soit (Un)n est une suite

(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un

#### Les suites décroissantes :

Soit (Un)n est une suite

(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un

## Série TD N°1 : Oct 6

### Exo 1 :

#### Ensemble A :

A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

- Borne inférieure

  ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A

- Minimum :

  ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A

- Borne supérieure :

  ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A

- Maximum :

  L’ensemble A n’as pas de maximum

#### Ensemble B :

B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

- Borne inférieure :

  Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ))

  Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est -∞,

  Inf (B) = -1

- Borne supérieure :

  Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))

  Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est +∞,

  Sup(B) = 3

- Minimum :

  Min(B) = -1

- Maximum :

  L’ensemble B n’as pas de Maximum

#### Ensemble C :

C = {3n ,n ∈ ℕ}

- Borne inférieure :

  Inf (C) = 0

- Borne supérieure :

  Sup(C) = +∞

- Minimum :

  Min(C) = 0

- Maximum :

  L’ensemble C n’as pas de Maximum

#### Ensemble D :

D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

- Borne inférieure :

  Inf (D)= 0

- Borne supérieure :

  Sup(D)= 1

- Minimum :

  Min(D)= 0

- Maximum :

  L’ensemble D n’as pas de Maximum

#### Ensemble E :

E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair

On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}

Donc E = F ∪ G

- Borne inférieure :

  Inf (E) = Min(inf (F), inf (G))

  Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1

  Inf (E)= -1

- Borne supérieure :

  Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))

  sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

  Sup(E)= +∞

- Minimum :

  Min(E)= -1

- Maximum :

  E n’as pas de maximum

### Exo 2 :

#### Ensemble A :

A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

- Borné

  Oui, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3

#### Ensemble B :

B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

- Borné

  ∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2

  ∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2

#### Ensemble C :

C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

- Minoré

  ∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3

#### Ensemble D :

D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

- Borné

  ∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0

  ∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2

#### Ensemble E :

E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

- Majoré

  p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

### Exo 3 :

U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

#### Question 1 :

Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

(Un - 1)² ≥ 0 Parce que c’est un carré

(Un - 1)² + 1 > 1 ; U(n+1) ≥ 1

- Raisonnement par récurrence :

  P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2

  P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2

  On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction

  1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; 1 < U(n+1) < 2 Donc elle est correcte

#### Question 2 :

Montrer que (Un)n est strictement monotone :

U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2

On étudie Un² - 3Un + 2 sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, Δ = 1 , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2

On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc ∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante

## 4th cours (Suite) : Oct 10

### Les suites convergentes

Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

#### Remarque :

1. Un est une suite convergente alors Un est bornee
2. Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
3. Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge
4. Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge
5. Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors
   1. Un + Vn est convergente
   2. Un * Vn est convergente
   3. ∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge
6. Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0

### Theoreme d’encadrement

Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

### Suites arithmetiques

Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite

#### Forme general

Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

#### Somme des n premiers termes

Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie

### Suites géométriques

#### Forme general

Un = U0 x r^n

#### Somme des n premiers termes

n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

## 5th cours (suite) : Oct 12

### Suites adjacentes:

Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:

1. (Un) est croissante et (Vn) est décroissante
2. Un ≤ Vn
3. lim (Un - Vn) n->+∞ = 0

### Suites extraites (sous-suites):

Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.

#### Remarques:

1. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
2. Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
3. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l

### Suites de Cauchy:

(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε

#### Remarque :

1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente

### Théorème de Bolzano Weirstrass:

On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée

## Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14

### Fonction réelle à variable réelle :

Soit f : I –> ℝ , I ⊂= ℝ
x –> f (x)

#### L’ensemble de départ :

L’ensemble de définition (Df)

- Propriétés:

  Soit f et g deux fonctions :
  f : I –> ℝ
  x –> f (x)

  g : I –> ℝ
  x –> g(x)

  - 1) f+g

    (g+f): I –> ℝ
    x –> (f+g)(x) = f (x) + g(x)

  - 2) λf

    ∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ
    x –> (λf)(x) = λf (x)

  - 3) f*g

    (f*g): I –> ℝ
    x –> (f*g)(x) = f (x) x g(x)

  - 4) f/g

    f/g : I –> ℝ
    x –> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0

#### Les Limites :

f : I –> ℝ
x –> f (x)
x0 ∈ I ; x0 extrémité de l’intervalle.

Limx –> x0 f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x0

- Limx –> x0 f (x) = l

  => |x - x0| < ẟ , |f (x) - l| < ε

#### La continuité :

Soit f : I –> ℝ I = Df
x –> f (x) x0 ∈ I
f est continue en x0 ⇔ Limx –> x0 f (x) = f (x0)
∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x0| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x0)| < ε

#### Prolongement par continuité :

Soit f : I/ {x0} –> ℝ
x –> f (x)

Si limx –> x0 f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x0

On défini :
f~ = f (x) si x ≠ x0
ET
l si x = x0
f~ : I –> ℝ
x –> f (x)

#### Théorème des valeurs intermédiaires :

f : [a,b] –> ℝ
Si f est continue sur [a,b]
Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x)

1. Si f est continue sur [a,b]
2. Si f (a) * f (b) < 0

Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0

#### Fonction croissante :

f : I –> J
f est croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)

f est strictement croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.

#### Injection = Strictement monotonne :

f : I –> J
f est injective si ∀ x1,x2 ∈ I , f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

#### Surjection = Continuité :

f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x)

#### Bijection :

Si f est injective et surjective, alors f est bijective
f est bijective donc elle admet une bijection réciproque

#### Théorème de bijection :

Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.
f admet une bijection réciproque f{-1}.
f{-1} a le même sens de variation que f.

Author: Crystal

Created: 2023-11-14 Tue 23:06