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Analyse 1

• Contenu de la Matiére
  • Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ
  • Chapitre 2 : Les suites numériques réelles
  • Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d'une variable réelle
  • Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique
  • Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques
• Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :
  • La loi de composition interne dans E :
    • Example : Addition
    • Example : soustraction
  • La loi de composition externe dans E :
  • Groupes :
    • Il contiens un élement neutre
    • Il contiens un élément symétrique
    • @ est cummutative :
  • Anneaux :
    • (E ; @) est un groupe cummutatif
    • ! est une loi associative :
    • Distribution de ! par rapport à @ :
    • L'existance d'un élèment neutre de ! :
    • ! est cummutative :
  • Corps :
    • La symétrie :
  • Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?
    • Est-ce un Anneau ?
    • Est-ce un corps ?
• 2nd cours :L'ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :
  • L'ordre dans ℝ
    • Exemples :
      • Exemple numéro 1:
      • Exemple numéro 2:
  • Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
    • Majorant:
    • Minorant:
    • Borne supérieure:
    • Borne inférieure:
    • Maximum :
    • Minimum :
    • Remarques :
• 3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :
  • Définition :
  • Définition N°2 :
  • Opérations sur les suites :
    • La somme :
    • Le produit :
    • Inverse d'une suite :
    • Produit d'une suite par un scalaire :
  • Suite bornée :
  • Suite majorée :
  • Suite minorée :
  • Suites monotones :
    • Les suites croissantes :
    • Les suites décroissantes :
• Série TD N°1 : Oct 6
  • Exo 1 :
    • Ensemble A :
      • Borne inférieure
      • Minimum :
      • Borne supérieure :
      • Maximum :
    • Ensemble B :
      • Borne inférieure :
      • Borne supérieure :
      • Minimum :
      • Maximum :
    • Ensemble C :
      • Borne inférieure :
      • Borne supérieure :
      • Minimum :
      • Maximum :
    • Ensemble D :
      • Borne inférieure :
      • Borne supérieure :
      • Minimum :
      • Maximum :
    • Ensemble E :
      • Borne inférieure :
      • Borne supérieure :
      • Minimum :
      • Maximum :
  • Exo 2 :
    • Ensemble A :
      • Borné
    • Ensemble B :
      • Borné
    • Ensemble C :
      • Minoré
    • Ensemble D :
      • Borné
    • Ensemble E :
      • Majoré
  • Exo 3 :
    • Question 1 :
      • Raisonnement par récurrence :
    • Question 2 :
• 4th cours (Suite) : Oct 10
  • Les suites convergentes
    • Remarque :
  • Theoreme d'encadrement
  • Suites arithmetiques
    • Forme general
    • Somme des n premiers termes
  • Suites géométriques
    • Forme general
    • Somme des n premiers termes
• 5th cours (suite) : Oct 12
  • Suites adjacentes:
  • Suites extraites (sous-suites):
    • Remarques:
  • Suites de Cauchy:
    • Remarque :
  • Théorème de Bolzano Weirstrass:

Contenu de la Matiére

Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

• Structure algébrique de ℝ
• L'ordre dans ℝ
• Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure

Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

• Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
• Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
• Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes

Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d'une variable réelle

• Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
• La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
• La continuité informe les fonctions Lepchitziennes

Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

• Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L'Hopital et formule de Taylor

Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

• Comparaison asymptotique
• Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
• Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L
• Généralisations des D.L
• Application au calcul de limite et l'étude des branches infinies

Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

La loi de composition interne dans E :

@ : E x E —> E (x,y) —> x @ y

@ est une lois de composition interne seulement si :

∀ x,y ε E

Example : Addition

Est ce que l'addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x + y ? En gros : Pour que l'addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne n'importe quel chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ

∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ

Donc : + est L.C.I dans ℕ

Example : soustraction

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x - y ?

∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n'est PAS dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c'est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ

La loi de composition externe dans E :

@ est L.C.E dans E, K est un corps

K x E —> E

(a,x) —> a @ x

∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E

Groupes :

Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

(E, @) est un groupe Si :

Il contiens un élement neutre

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

x @ e = e @ x = x

On appelle e élement neutre

Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n'est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition

Il contiens un élément symétrique

∀ x ∈ E ; ∃ x' ∈ E ; x @ x' = x' @ x = e

On appelle x' élèment symétrique

Dans l'example en haut, on remarque qu'il n'y ya pas de chiffre x' pour chaque chiffre x, qui est, l'hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:

x + x' = e ; x + x' = 0 ; x = -x'

Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs

@ est cummutative :

∀ (x , x') ∈ E x E ; x @ x' = x' @ x

L'addition est cummutative, la soustraction ne l'es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents

Anneaux :

Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

(E ; @) est un groupe cummutatif

! est une loi associative :

∀ x , y , z ∈ E

(x ! y) ! z = x ! (y ! z)

Distribution de ! par rapport à @ :

∀ x , y , z ∈ E

(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )

L'existance d'un élèment neutre de ! :

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

! est cummutative :

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

Corps :

(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

La symétrie :

∀ x ∈ E ; ∃ x' ∈ E , x ! x' = x' ! x = e

x' est l'élément symétrique de x par rapport à ! (sauf élément neutre première lois )

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

Est-ce un Anneau ?

• (ℝ, +) est un groupe commutatif
• x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
• On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
• Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a
• La multiplication est commutative : a x b = b x a

Oui c'est un anneau

Est-ce un corps ?

• Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x' = 1

2nd cours :L'ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

L'ordre dans ℝ

(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d'ordre dans ℝ si :

1. R est antisymétrique : ∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)
2. R est reflexive : ∀ x ∈ ℝ ; x R x
3. R est transitive : ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z

Exemples :

Exemple numéro 1:

(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d'ordre dans ℝ ?

Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x is obviously false

Exemple numéro 2:

(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d'ordre dans ℝ ?

1. (Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true
2. (Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true
3. (Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true

Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

Majorant:

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

Minorant:

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

Borne supérieure:

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

Borne inférieure:

La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf(E) = Borne inférieure

Maximum :

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

Minimum :

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

Remarques :

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

1. A ∪ B est borné
2. A ∩ B est borné
3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
4. Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
6. Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B

3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

Définition :

Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:

ℕ —-> ℝ

n —-> U(n) = Un

1. (Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite
2. Un : terme général

Exemple :

U : ℕ* —-> ℝ

n —-> 1/n

(Un) est une suite définit par Un = 1/n

Définition N°2 :

On peut définir une suite â partir d'une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

Exemple :

U(n+1) = Un /2

U(1)= 1

Opérations sur les suites :

La somme :

Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

Le produit :

Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

Inverse d'une suite :

Soit Un une suite de terme général Un alors l'inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

Produit d'une suite par un scalaire :

Soit (Un) une suite de T.G Un

∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn

Suite bornée :

Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

Suite majorée :

Soit (Un) une suite

U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M

Suite minorée :

Soit (Un) une suite

U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M

Suites monotones :

Les suites croissantes :

Soit (Un)n est une suite

(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un

Les suites décroissantes :

Soit (Un)n est une suite

(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un

Série TD N°1 : Oct 6

Exo 1 :

Ensemble A :

A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

Borne inférieure

∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l'ensemble A

Minimum :

∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l'ensemble A

Borne supérieure :

∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l'ensemble A

Maximum :

L'ensemble A n'as pas de maximum

Ensemble B :

B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

Borne inférieure :

Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))

Puisse que ℚ n'as pas de Borne inférieure, donc par convention c'est -∞,

Inf(B) = -1

Borne supérieure :

Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))

Puisse que ℚ n'as pas de Borne supérieure, donc par convention c'est +∞,

Sup(B) = 3

Minimum :

Min(B) = -1

Maximum :

L'ensemble B n'as pas de Maximum

Ensemble C :

C = {3n ,n ∈ ℕ}

Borne inférieure :

Inf(C) = 0

Borne supérieure :

Sup(C) = +∞

Minimum :

Min(C) = 0

Maximum :

L'ensemble C n'as pas de Maximum

Ensemble D :

D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

Borne inférieure :

Inf(D)= 0

Borne supérieure :

Sup(D)= 1

Minimum :

Min(D)= 0

Maximum :

L'ensemble D n'as pas de Maximum

Ensemble E :

E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

Les valeurs que E peut prendre sont : "(2n + 1)/(n+1)" Si n est pair, et "(2n - 1)/(n+1)" si n est impair

On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}

Donc E = F ∪ G

Borne inférieure :

Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))

Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1

Inf(E)= -1

Borne supérieure :

Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))

sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

Sup(E)= +∞

Minimum :

Min(E)= -1

Maximum :

E n'as pas de maximum

Exo 2 :

Ensemble A :

A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

Borné

Oui, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3

Ensemble B :

B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

Borné

∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2

∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2

Ensemble C :

C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

Minoré

∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3

Ensemble D :

D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

Borné

∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0

∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2

Ensemble E :

E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

Majoré

p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

Exo 3 :

U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

Question 1 :

Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

(Un - 1)² ≥ 0 Parce que c'est un carré

(Un - 1)² + 1 > 1 ; U(n+1) ≥ 1

Raisonnement par récurrence :

P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2

P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2

On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction

1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; 1 < U(n+1) < 2 Donc elle est correcte

Question 2 :

Montrer que (Un)n est strictement monotone :

U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2

On étudie Un² - 3Un + 2 sur l'intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, Δ = 1 , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2

On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc ∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante

4th cours (Suite) : Oct 10

Les suites convergentes

Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

Remarque :

1. Un est une suite convergente alors Un est bornee
2. Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
3. Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge
4. Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge

5. Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors

   1. Un + Vn est convergente
   2. Un * Vn est convergente
   3. ∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge
6. Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0

Theoreme d'encadrement

Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

Suites arithmetiques

Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite

Forme general

Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

Somme des n premiers termes

Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie

Suites géométriques

Forme general

Un = U0 x r^n

Somme des n premiers termes

n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

5th cours (suite) : Oct 12

Suites adjacentes:

Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:

1. (Un) est croissante et (Vn) est décroissante
2. Un ≤ Vn
3. lim (Un - Vn) n->+∞ = 0

Suites extraites (sous-suites):

Soit (Un) une suite: ;U: ℕ —-> ℝ ; n —-> Un ;ϕ: ℕ —-> ℕ ; n —-> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.

Remarques:

1. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
2. Mais le contraire n'es pas toujours vrais.
3. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l

Suites de Cauchy:

(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε

Remarque :

1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente

Théorème de Bolzano Weirstrass:

On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée