homeworks/modfizlab/lab15.org

1. Kvantumradír

\begin{titlepage} \pagenumbering{gobble} \maketitle \end{titlepage}

Bevezetés

Ugyan Richard Feynman szerint a kétréses interferenciakísérlet magyarázata a kvantummechanika egyetlen rejtélye, azonban a jelenség bizonyos esetei klasszikus keretek közt is értelmezhetők.

Mi a mérésünkben egy efféle elrendezésben vizsgáltuk a "kvantumradírt". A kvantumradírnak nevezzük azt a jelenséget ami akkor lép fel, ha egy interferométerben az ún. "útvonaljelölés" ( a mi esetünkben a megkülönböztető tulajdonság a fotonok polarizációja ) eltünteti az interferenciát, de még a mielőtt a detektorba érnének a részecskesugár, megszüntetjük ("kiradírozzuk") az útvonaljelölést – azaz kitöröljük a korábban szerzett útvonaljelölést, és az interferenciakép helyreáll.

Mérési összeállítás

Egy Mach-Zehnder interferométerrel dolgoztunk. Ennek minkét nyalábútvonalába egy-egy polárszűrőt tettünk, és ezekkel a fénynyalábokat különbözőképp polarizáltuk. A megvalósításunk virtuális volt, amelyet a laborvezető bocsájtott rendekezésünkre. A fényképezést egy screenshot készítésével tudtuk helyettesíteni.

A mérés elvégzéséhez a laborvezető egy szoftvert adott rendelkezésünkre, mely a következőképp nézett ki:

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=0.9\linewidth]{sw.png} ∩tion{A szoftver} \label{fig:test1}

\end{figure}

Itt találhatók angol nyelven felcímkézett gombok, amelyekkel válhatunk a klasszikus és a kvantumos eset közt, engedélyezhetjük és állíthatjuk a polárszűrőket, illetve leolvashatjuk az ún. distinguishability paramétert ( erről később beszámolunk ).

Számolási feladatok

Kvantumradír-kísérlet a Mach-Zehnder interferométerben

Az interferométerből kilépő fotonok hullámfüggvénye

\begin{equation} \psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\psi_1\rangle+|\psi_2\rangle\right) \end{equation}

alakban írható fel, ahol $|\psi_1\rangle$ és $|\psi_2\rangle$ a két ágon haladás hullámfüggvényei. Az ernyő $\mathbf{r}$ pontjában való detektálás valószínűsége $|\langle \mathbf{r}|\psi\rangle|^2$, amit ha kibontunk, akkor az interferenciáért felelős tagok $\langle\psi_1|\mathbf{r}\rangle\langle\mathbf{r}|\psi_2\rangle$ és $\langle\psi_2|\mathbf{r}\rangle\langle\mathbf{r}|\psi_1\rangle$. Egy útvonaljelölő hatására ( legyen $M$) a részecske hullámfüggvénye viszont a $|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\psi_1\rangle|M_1\rangle+|\psi_2\rangle|M_2\rangle\right)$ alakra módosul, ahol $M_1$ és $M_2$ az útvonaljelölő sajátállapotait jelöli, tehát az útvonaljelölő állapota és a részecske haladási útvonala összefonódik. A mérés során a hullámfüggvény beugrik a két állapot egyikébe, azaz ha a két állapot ortogonális, akkor teljes bizonyossággal meg tudjuk mondani, hogy hol haladt át a részecske. Ekkor az interferencia eltűnik. (Ez a mi mérésünkben a merőleges polárszűrők esetének felel meg.)

A kvantumradír ezek után "kitörli" a korábbról szerzett útvonalinformációkat: az interferométerben a polarizációs Jones-vektorok összeadásakor a harmadik polárszűrő utáni foton Jones-vektora az első kettő lineárkombinációjaként kapható meg; a megfelelő irányba állítva azonos valószínűséggel fog az egyik vagy a másik úton menni. Ekkor az interferencia helyreáll.

A lézernyalábok által bezárt szög számítása Mach-Zender elrendezésben

Ha a négy tükör nem tökéletesen párhuzamos, a lencsén áthaladva a nyalábok a fókuszsíkban nem egyetlen pontban metszik egymást, hanem kettő pontban ( $S'$ és $S''$).

Ha feltételezzük, hogy a nyalábok $\alpha$ szöge nagyon kicsi, akkor az $S'$ és $S''$ pontok, valamint a lencse fősíkjának az $S'S''$ szakasz felezőjével szemközti pontja által definiált egyenlő szárú háromszög szárai $\approx f$, ahol $f$ a lencse fókusztávolsága.

Ebből a koszinusztétel alapján az $S'S''$ szakasz $d$ hosszúsága az alábbiak szerint becsülhető:

\begin{equation} d^2\approx 2f^2(1-\cos\alpha) \end{equation}

$\cos{\alpha}$ -t másodrendig sorbafejtve:

\begin{equation*} \cos{\alpha}\approx 1-\frac{\alpha^2}{2}+\mathcal{O}(\alpha^4) \end{equation*}

Ezt az előző kifejezésbe behelyettesítve:

\begin{equation*} d=f\alpha \end{equation*}

A $d$ szakasz hosszára kaphatunk egy másik egyenletet is az alaphán, hogy az $S'$ és $S''$ pontokból gömbhullámok indulnak ki. A $\theta_m$ irányok, az $m$ rendek, a $d$ réstávolság és a $\lambda$ hullámhossz között az alábbi összefüggés írható fel:

\begin{equation} d\sin\theta_m=m\lambda \end{equation}

Ha $\theta_m$ kicsi és a lencse és az ernyő $L$ távolságára igaz, hogy $L\gg f$, akkor élhetünk az alábbi közelítéssekkel a $\theta_m$ irányra és az adott interferenciacsíknak a középső csíktól való $l_m$ távolságára vonatkozóan:

\begin{equation*} \theta \approx \sin\theta\approx\tan\theta\approx\frac{l_m}{L} \end{equation*}

Ez alapján az egyenlet a következő formát ölti:

\begin{equation*} d \approx \frac{m\lambda L}{l_m} \end{equation*}

Ebbe behelyettesítve a $d$-re kapott előző kifejezést, a nyalábok párhuzamosságának $\alpha$ hibájára a következő kifejezés adódik:

\begin{equation}\label{eq: alpha} α≈ \frac{mλ L}{fl_m}

\end{equation}

Láthatósági paraméter

Első eset

Vegyünk két, lineárisan polarizált állapotot $2\cdot\phi$ szögeltéréssel és $\alpha$ fáziskülönbséggel. Ezek Jones-vektorai a következők:

\begin{align} \mathbf{E}_1= \left( \begin{array}{c} \cos\phi \\ \sin\phi \end{array} \right) &\hspace{24pt} \mathbf{E}_2= \left( \begin{array}{c} \cos\phi \\ -\sin\phi \end{array} \right) \cdot e^{i\alpha} \end{align}

A szuperpozíció elve szerint összeadhatjuk a fentieket, hogy az eredő térerősséget megkapjuk:

\begin{equation} \mathbf{E} =\left( \begin{array}{c} \cos\phi(1+e^{i\alpha}) \\ \sin\phi(1-e^{i\alpha}) \end{array} \right) \end{equation}

Az intenzitás a térerősségnégyzet abszolút értékével arányos, ezért felírhatjuk így is:

\begin{equation} I\sim \mathbf{E}\mathbf{E}^{*}=\left( \begin{array}{c c} \cos\phi(1+e^{-i\alpha}); & \sin\phi (1-e^{-i\alpha}) \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} \cos\phi(1+e^{i\alpha}) \\ \sin\phi (1-e^{i\alpha}) \end{array} \right) \end{equation}

A beszorzás után a következő marad:

\begin{equation} I\sim 1+\cos(2\phi)\cos\alpha \end{equation}

Ha ezt behelyzettesítjük a kontraszt paraméter definíciójába, akkor a következőt kapjuk:

\begin{equation} V_1=\frac{I_\text{max}-I_\text{min}}{I_\text{max}+I_\text{min}}=\cos(2\phi), \end{equation}

Ez a fenti eredmény lesz a kontraszt paraméter képlete az első elrendezésünkben.

Második eset

A két polarizátort ±45°-os állásba tesszük és a harmadik polárszűrőt (a kvantumradírt) $\phi$ szögű irányba állítjuk. A ±45°-os állású Jones-vektorok:

\begin{align} \mathbf{E}_1 =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)&\hspace{24pt} \mathbf{E}_2 =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)e^{i\alpha}. \end{align}

A polarizátor Jones-mátrixa pedig legyen egy általános polarizátor mátrixa:

\begin{equation} \mathbf{P}=\left(\begin{array}{c c} \cos^2\phi& \sin\phi\cos\phi \\ \sin\phi\cos\phi & \sin^2\phi \end{array} \right). \end{equation}

Az eredő térerősséget ismét szuperpozícióból kapjuk:

\begin{equation} \mathbf{E}=\mathbf{P}(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos\phi (1+e^{i\alpha})+\sin\phi (1-e^{i\alpha})) \cdot \left( \begin{array}{c} \cos\phi \\ \sin\phi \end{array} \right). \end{equation}

Ennek kiszámítva az abszolút értékének négyzetét, az intenzitásra ebben az esetben is

\begin{equation} I\sim 1+\cos(2\phi)\cos\alpha \end{equation}

adódik, tehát a kontraszt most is

\begin{equation} V_2=cos (2\phi) \end{equation}

Mérési adatok

1. Jelölt és jelöletlen útvonal

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=0.9\linewidth]{1.png} ∩tion{Jelöletlen útvonal} \label{fig:test1}

\end{figure}

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=0.9\linewidth]{2.png} ∩tion{Jelölt útvonal} \label{fig:test2}

\end{figure} \pagebreak

2. Kvantumradírozás szemléltetése

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=8cm]{3.png} ∩tion{Bekapcsolt radírozó polárszűrő}

\end{figure} \pagebreak

3. Az egyik ernyőn nincs jel

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=.9\linewidth]{4.png} ∩tion{Másik ernyőn nincs interferencia} \label{fig:test3}

\end{figure}

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=.9\linewidth]{5.png} ∩tion{Másik ernyőn van interferencia} \label{fig:test4}

\end{figure} \pagebreak

Visibility paraméter és distinguishability összefüggése

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=.9\linewidth]{ernyo.png} ∩tion{Az ernyő képe} \label{fig:ernyo1}

\end{figure} A számításhoz először a képernyőképet GIMP segítśegével dolgoztam fel, egy perspektívatranszformációval négyzetbe transzformáltam az ernyő képét. Ezután szürkeárnyalatossát tettem a képet, és körülvágtam. \begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=.9\linewidth]{ernyo-transformed.png} ∩tion{Az ernyő képe a tranformációk után} \label{fig:ernyo2}

\end{figure}

Ezután betöltöttem a képet a python nyelv parancsértelmezőjébe, negatívba tettem, és hisztogramot csináltam 15-ös thresholddal (Ha a pixel fényessége 15 felett volt, akkor a az oszlop megfelelő gyűjtőjében a számlálót növeltem.)

\begin{figure}[h] ¢ering ∈cludegraphics[width=.9\linewidth]{histogram.png} ∩tion{A hisztogram, csakis szemléltetésnek használtuk} \label{fig:ernyo1}

\end{figure}

A hisztogram adatai közt megkerestem a nekünk kellő minimum-és maximumértékeket, amelyek $I_{min}=155\pm12.5$, illetve $I_{max}=510\pm22.6$-nak adódtak (a hibát a poisson-eloszlás szórásával, $\sqrt{\mu}$-vel becsültem).

\begin{equation} V_1=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=0.534\pm0.045 \end{equation}

A hiba számítására a következő képleteket használtam:

\begin{equation} \frac{\Delta V_1}{\Delta I_{max}}=| \frac{1}{I_{max}+I_{min}}-\frac{I_{max}}{(I_{max}+I_{min})^2}+\frac{I_{min}}{(I_{max}+I_{min})^2}| \end{equation} \begin{equation} \frac {\Delta V_1}{\Delta I_{min}} = | -\frac{1}{I_{max}+I_{min}}-\frac{I_{max}}{(I_{max}+I_{min})^2}+\frac{I_{min}}{(I_{max}+I_{min})^2}| \end{equation}

$\alpha$	$\beta$	$D_1$	$V_1$
75	120	0.81650	$0.534\pm0.045$

Ennyire kevés adat alapján az adat alapján nem még nem megállapítható az összefüggés, bár annyi már sejthető, hogy a kettő négyzetösszege mindig 1 körül lesz.

\pagebreak

Kontraszt paraméterek kvantumradír nélkül

$2\phi$	$D_1$
90	1.0
80	0.98481
70	0.93969
60	0.86603
50	0.76604
40	0.64279
30	0.50000
20	0.34202
10	0.17365
0	0.000

hmmm

A táblázatból is jól látszik, hogy a $D_1=cos(\pi/2-2\phi)$, azaz 90°-kal eltolt fázisú a visibility paraméterhez képest, amit a számolás eredményeképp kaptunk.

Minthogy ez egy virtuális labor által adott eredmény és szemmel is látható az elméleti eredmény helyessége, továbbá a hibaszámítás ill. az illesztés hibája gyakorlatilag 0 kell legyen ( leolvasási hiba egy kerekítés eredménye ($\pm5*10^{-6}$), illetve a lebegőpontos számok pontatlansága jelen esetben elhanyagolható), jelen és követkeő esetekben eltekintettem a koszinuszfüggvény illetszésétől.

Megj.: D1-re a szoftver hibát jelez, ha mindkét polarizátor 90 fokra van állítva.

\pagebreak

Kontraszt paraméterek kvantumradírral

$\alpha$	$D_1$
45	1.00000
54	0.95106
63	0.80902
72	0.58779
81	0.30902
90	0.00000
99	0.30902
108	0.58779
117	0.80902
126	0.95106
135	1.00000

Ismét igazolódott az a számolás: a periódus 90°

\pagebreak

Diszkusszió

A kísérlet során egy szimulációban meg tudtuk figyelni kétréses kísérletben az interferenciakép eltűnését útvonaljelölés esetén, a kvantumradírozást, megtaláltuk a forrás polarizációs szögét, megtaláltuk a szoftverben levő distiguishability paraméter és a visibility paraméter közti összefüggést, illetve kimuttatuk szögfüggéses számolások helyességét. Sajnos a $D_1$ és $V_1$ közti összfüggést nem sikerült elsőre igazolni, azonban további mérésekkel endönthetőnek bizonyult a probléma.